Question

已知a²+b²≤1，则关于x的方程x²-2ax+b²=0有两个不同的实数根的概率为（　　）

• A、

  1

  16

• B、

  1

  8

• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得满足a²+b²≤1的点（a，b）在单位圆及其内部；找出方程x²-2ax+b²=0有实数解对应的可行域面积的大小，即可求出概率．

解答： 解：以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，
∵实数a，b满足a²+b²≤1，
∴可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，
如图所示，面积为S=π×1²=π
x²-2ax+b²=0有实数解的充要条件是△=4a²-4b²≥0．
即

a-b≥0 a+b≥0

或

a-b≤0  a+b≤0

．
如图阴影所示，S′=

π

2

．
∴所求概率为：

1

2

．
故选：D．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．