Question

已知S_n=

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

n + n+1

．若S_m=9，则m=

99

．

Answer 1

分析：先研究通项：an=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

，然后令n=1，n=2，n=3，…，n=m，得到数列{a_n}的前m项的表达式，然后将这m项相加，可得S_m=

m+1

-1=9，从而得出m=99．

解答：解：设an=

1

n + n+1

=

( n - n+1 )

( n + n+1 )( n - n+1 )

=

n+1

-

n

∴

1

1+ 2

=

2

-1…（1）

1

2 + 3

=

3

-

2

…（2）

1

3 +2

=

4

-

3

…（3）
…

1

m + m+1

=

m+1

-

m

…（m）
将此m个式子相加，得
S_m=

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

m + m+1

=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

m+1

-

m

）
=

m+1

-1．
∵S_m=9，
∴

m+1

-1=9⇒m=99
故答案为：99

点评：本题给出一个特殊的数列，在已知前m项的和的情况下，求正整数m的值，着重考查了数列求和中裂项累加的方法，属于中档题．