Question

设x，y满足约束条

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值1，则

1

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A、

  25

  6

• B、

  8

  3

• C、

  11

  3

• D、4

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点A时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y=0与直线3x-y-2=0的交点A（1，1）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，
即a+b=1，
而

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(a+b)=2+(

b

a

+

a

b

=5)≥2+2=4．
则

1

a

+

1

b

的最小值为4．
故选D．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．