Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC．
（1）求证：BC⊥平面CDE；
（2）求证：FG∥平面BCD；
（3）求四棱锥D-ABCE的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知BC⊥CE，只需再证明BC垂直于与CE相交的一条直线即可，而根据条件容易证明DE⊥平面ABCE．从而可以证明BC⊥DE，而CE∩DE=E，所以可以证明BC⊥平面DCE．
（2）需要构造一个GF所在的平面，使得该平面与平面BCD；使用线面平行的定义或者面面平行的性质证明即可；
（3）由于在解决第一问的时已经证明了DE⊥平面ABCE，因此DE即为该四棱锥的高，求出底面ABCE的面积，代入椎体体积公式求即可．

解答：解：（1）证明：由已知得：
DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE．
∴DE⊥BC．又BC⊥CE，CE∩DE=E，
∴BC⊥平面DCE．
（2）证明：取AB中点H，连接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD．
又GH∩FH=H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴FG∥平面BCD（由线线平行证明亦可）．
（3）V=

1

3

×1×2×

3

=

2

3

3

．

点评：本题考查直线与平面的位置关系中的平行与垂直的证明，以及椎体体积的求法，在证明时要注意线线垂直与线面垂直的转化，线面平行与面面平行的转化，体现灵活的转化思想．