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13.已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA及a的值;
(2)若b2+c2=4,求△ABC的面积.

分析 (1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA,又0<A<π,即可求得cosA的值,进而由同角三角函数基本关系式可求sinA的值,由于顶点在单位圆上的△ABC中,利用正弦定理可求a.
(2)利用余弦定理可得bc的值,利用三角形面积公式即可得解.

解答 解:(1)∵2acosA=ccosB+bcosC,
由正弦定理得:2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC
⇒2sinA•cosA=sin(B+C)=sinA,
又∵0<A<π⇒sinA≠0,
∴2cosA=1⇒cosA=$\frac{1}{2}$.
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$.
∴由cosA=$\frac{1}{2}$⇒sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
由于顶点在单位圆上的△ABC中,2R=2,利用正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=2$.
可得:a=2sinA=$\sqrt{3}$.…(6分)
(2)由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA⇒bc=b2+c2-a2=4-3=1.…(10分)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.…(12分)

点评 本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,熟练掌握相关公式是解题的关键,考查了转化思想和数形结合思想的应用,属于中档题.

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