Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx.
(1)若a＝2b，试问函数f(x)能否在x＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由．
(2)若函数f(x)在区间(－1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求w＝a－4b的取值范围．

Answer 1

(1) 不能，理由见解析      (2)  (－29,10)

解：(1)由题意f′(x)＝x²＋ax＋b，
∵a＝2b，∴f′(x)＝x²＋2bx＋b.
若f(x)在x＝－1处取极值，
则f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，
此时f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，
函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x＝－1处取极值矛盾，
故该函数不能在x＝－1处取得极值．
(2)∵函数f(x)＝x³＋ax²＋bx在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，
∴f′(x)＝x²＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，
∴⇒
⇒
画出不等式表示的平面区域，如图所示，

当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，
对应的w＝－29；
当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，
对应的w＝10.
故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．