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【题目】如图,在三棱柱中,的中点,E是棱上一动点.

(1)若E是棱的中点,证明:平面

(2)求二面角的余弦值;

(3)是否存在点E,使得,若存在,求出E的坐标,若不存在,说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2);(3)不存在,理由详见解析.

【解析】

1)取中点为,连结,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得结论;

2)先证明两两垂直,再建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面ABC的法向量为,再利用向量的夹角公式,即可得答案;

3)设,由,解得与假设矛盾,从而得到结论.

(1)证明:取中点为,连结

中,因为的中点,

所以

又因为的中点,

所以

所以为平行四边形

所以

又因为平面

平面

所以平面

(2)连结

因为是等边三角形,的中点,

所以

因为

所以

因为平面平面

平面平面

平面

所以平面

所以两两垂直.

如图,建立空间直角坐标系

设平面的法向量为

,则

所以

平面ABC的法向量为

又因为二面角为锐二面角,

所以二面角的余弦值为

(3)

所以

所以

假设

,解得

这与已知矛盾.不存在点E.

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