【题目】如图,在三棱柱中,,,,是的中点,E是棱上一动点.
(1)若E是棱的中点,证明:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)是否存在点E,使得,若存在,求出E的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)不存在,理由详见解析.
【解析】
(1)取中点为,连结,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得结论;
(2)先证明两两垂直,再建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面ABC的法向量为,再利用向量的夹角公式,即可得答案;
(3)设,由,解得与假设矛盾,从而得到结论.
(1)证明:取中点为,连结,
在中,因为为的中点,
所以且.
又因为是的中点,,
所以且,
所以为平行四边形
所以.
又因为平面, .
平面,
所以平面.
(2)连结,
因为是等边三角形,是的中点,
所以,
因为,,
所以.
因为平面平面,
平面平面,
平面,
所以平面,
所以两两垂直.
则,,,
,
设平面的法向量为,
则,
即,
令,则,,
所以.
平面ABC的法向量为,
.
又因为二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
(3),,
设,
则,
所以,,
所以,
假设,
则,解得,
这与已知矛盾.不存在点E.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为.(为参数)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标和 l的直角坐标方程;
(2)把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线,为上动点,求中点到直线距离的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),直线的普通方程为,设与的交点为,当变化时,记点的轨迹为曲线. 在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)设点在上,点在上,若直线与的夹角为,求的最大值.
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【题目】已知定义域为的函数满足:对任何,都有,且当时,.在下列结论:
(1)对任何,都有;(2)任意,都有;
(3)函数的值域是;
(4)“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在,使得”.
其中正确命题是( )
A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)
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