Question

如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：AC⊥BM；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AC⊥BM，只要证明AC⊥平面PCBM中的两条相交直线即可．
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小，用三垂线定理，作出二面角的平面角，求解即可；
也可以利用空间直角坐标系来解．
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积，找出底面，求出底面面积，求出高，即可解答．

解答：解：（Ⅰ）∵平面PCBM⊥平面ABC，AC⊥BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面PCBM．
又∵BM?平面PCBM，
∴AC⊥BM．

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1．连接AN、MN．
∵平面PCBM⊥平面ABC，平面PCBM∩平面ABC=BC，PC⊥BC．
∴PC⊥平面ABC．
∵PM∥CN，∴MN∥PC，从而MN⊥平面ABC．
作NH⊥AB于H，连接MH，则由三垂线定理知AB⊥MH．
从而∠MHN为二面角M-AB-C的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴∠AMN=60°．
在△ACN中，由勾股定理得AN=

2

．
在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

2

•

3

3

=

6

3

．
在Rt△BNH中，NH=BN•sin∠ABC=BN•

AC

AB

=1×

1

5

=

5

5

．
在Rt△MNH中，tan∠MHN=

MN

NH

=

6 3

5 5

=

30

3

故二面角M-AB-C的大小为arctan

30

3

．

（Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
设P（0，0，z₀）（z₀＞0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，z₀）．

AM

=(-1，1，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直线AM与直线PC所成的角为60°，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos60°
即

z

2 0

=

1

2

z 2 0 +2

•z0，解得z0=

6

3

．
∴

AM

=(-1，1，

6

3

)，

AB

=(-1，2，0)
设平面MAB的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，则
由

n • AM =0 n • AB =0

?

-x+y+ 6 3 z=0 -x+2y=0

，取z1=

6

，得

n1

=(4，2，

6

)
取平面ABC的一个法向量为

n2

=(0，0，1)
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

6

26 •1

=

39

13

由图知二面角M-AB-C为锐二面角，
故二面角M-AB-C的大小为arccos

39

13

．

（Ⅲ）多面体PMABC就是四棱锥A-BCPMVPMABC=VA-PMBC=

1

3

•SPMBC•AC=

1

3

•

1

2

•(PM+CB)•CP•AC=

1

3

•

1

2

•(2+1)•

6

3

•1=

6

6

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，
考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．