Question

16、如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG，要证CG∥平面BEF，只需证明直线CG平行平面BEF内的直线DF即可；
（Ⅱ）要证平面BEF⊥平面A₁C₁G，只需证明平面BEF的直线DF，垂直平面A₁C₁G内的两条相交直线A₁C₁、C₁G，即可证明DF⊥平面A₁C₁G，从而证明平面BEF⊥平面A₁C₁G

解答：证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA₁，BB₁的中点，
∴AE∥BG且AE=BG，
∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点（3分）
又∵F是AC的中点，
∴DF∥CG（5分）
则由DF?面BEF，CG?面BEF，得CG∥面BEF（7分）
（注：利用面面平行来证明的，类似给分）

（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-AB₁C₁中，C₁C⊥地面A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥A₁C₁．
又∵∠A₁B₁C₁=∠ABC=90^O，即C₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥面B₁C₁CB（9分）
而CG?面B₁C₁CB，
∴A₁C₁⊥CG（11分）
又CG⊥C₁G，
由（Ⅰ）DF∥CG，
∴A₁C₁⊥DF，DF⊥C₁G
∴DF⊥平面A₁C₁G（13分）
∵DF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面A₁C₁G．（14分）

点评：本题考查直线与平面的平行的判定 平面与平面垂直的判定，开心逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．