Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$
（Ⅰ）求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程；
（Ⅱ）求过点P（2，4）的函数f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，求出斜率k=4，从而求出切线方程；
（Ⅱ）设出切点，表示出切线方程，将P（2，4）代入切线方程即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²，
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=f′（2）=4，
∴函数f（x）在点P处的切线方程为y-4=4（x-2），
即4x-y-4=0
（Ⅱ）设函数f（x）与过点P（2，4）的切线相切于点$A（{x_0}，\frac{1}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}）$，
则切线的斜率$k={f^'}（{x_0}）={x_0}^2$
∴切线方程为$y-（\frac{1}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}）={x_0}^2（x-{x_0}）$，
即$y={x_0}^2•x-\frac{2}{3}{x_0}^3+\frac{4}{3}$
∵点P（2，4）在切线上
∴4=2${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{2}{3}$${{x}_{0}}^{3}$+$\frac{4}{3}$即：${{x}_{0}}^{3}$-3${{x}_{0}}^{2}$+4=0，
∴（x₀+1）${{（x}_{0}-2）}^{2}$=0，解得：x₀=-1或x₀=2，
∴所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道中档题．