Question

已知函数f(x)=

m

x-1

，x∈[3，5]
（1）若点(4，

2

3

)在函数f（x）的图象上，求m的值；
（2）若m=1，判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）若m=1，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把点的坐标代入函数f（x）中，求得m的值；
（2）m=1时，用单调性定义可以证明f（x）的增减性；
（3）根据f（x）的单调性求出最值．

解答：解：（1）∵点(4，

2

3

)在函数f（x）=

m

x-1

的图象上，
∴

m

4-1

=

2

3

，
 解得m=2，
∴m的值是2．
（2）当m=1时，f(x)=

1

x-1

，f（x）在区间[3，5]上是减函数；
证明如下：设x₁，x₂是区间[3，5]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

(x2-1)-(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即 f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f(x)=

1

x-1

在区间[3，5]上是减函数．
（3）由（2）知，函数f(x)=

1

x-1

在区间[3，5]上是减函数，
∴在x=3时取得最大值，最大值是f(3)=

1

3-1

=

1

2

，
在x=5时取得最小值，最小值是f(5)=

1

5-1

=

1

4

．

点评：本题考查了求函数的解析式和判定函数的单调性以及利用单调性求最值问题，是基础题．