Question

（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=

2

，cosA=-

2

4

．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．
（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+

π

3

）=cos2Acos

π

3

-sin2Asin

π

3

的值．

解答：解：（1）△ABC中，由cosA=-

2

4

 可得sinA=

14

4

．
再由

a

sinA

=

c

sinC

  以及a=2、c=

2

，可得sinC=

7

4

．
由a²=b²+c²-2bc•cosA 可得b²+b-2=0，解得b=1．
（2）由cosA=-

2

4

、sinA=

14

4

  可得 cos2A=2cos²A-1=-

3

4

，sin2A=2sinAcosA=-

7

4

．
故cos（2A+

π

3

）=cos2Acos

π

3

-sin2Asin

π

3

=

-3+ 21

8

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．