Question

9．下列说法错误的是（　　）

• A． 存在函数f（x）使得对任意的实数y，都有等式f（cosy）=cos2y成立
• B． 存在函数f（x）使得对任意的实数y，都有等式f（siny）=sin2y成立
• C． 存在函数f（x）使得对任意的实数y，都有等式f（cosy）=cos3y成立
• D． 存在函数f（x）使得对任意的实数y，都有等式f（siny）=sin3y成立

Answer 1

分析 利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：A，令x=cosy∈[-1，1]，则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y=2cos²y-1成立，
即f（x）=2x²-1成立，故当f（x）=2x²-1时，满足条件．
B．令t=siny∈[-1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，
即f（x）=2x•（±$\sqrt{1-{x}^{2}}$）成立，此时函数f（x）不唯一，故B错误．
C．若f（cosy）=cos3y=4cos³y-3cosy 成立，即f（x）=4x³-3x成立，即当f（x）=4x³-3x时，满足条件．
D．若f（siny）=sin3y=3siny-4sin³y 成立，即f（t）=3t-4t³成立，即当f（x）=3x-4x³成时，满足条件
故选：B．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的倍角公式以及三倍角公式，考查学生的推理能力．