Question

（2012•湘潭模拟）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（1）求证：EF⊥平面BDE；
（2）求锐二面角E-BD-F的大小．

Answer 1

分析：（1）证明连接AC、BD，设AC∩BD=O，以O为原点，OA，OB为x．y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得EF⊥平面BDE；                         
（2）由知（1）

EF

=(-2，0，1)是平面BDE的一个法向量，求出平面BDF的一个法向量

m

=(3，0，1)，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角E-BD-F的大小．

解答：（1）证明：连接AC、BD，设AC∩BD=O，
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
以O为原点，OA，OB为x．y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，…（2分）
则B(0，

3

，0)，D(0，-

3

，0)，E（1，0，2），F（-1，0，3），

DE

=(1，

3

，2)，

BE

=(1，-

3

，2)，

EF

=(-2，0，1)，…（4分）
∴

EF

•

DE

=0，

EF

•

BE

=0，
∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，
∴EF⊥平面BDE；                             …（6分）
（2）由知（1）

EF

=(-2，0，1)是平面BDE的一个法向量，设

m

=(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，

DF

=(-1，

3

，3)，

BF

=(-1，-

3

，3)，
由

m

•

DF

=0，

m

•

BF

=0得：

-x+ 3 y+3z=0 -x- 3 y+3z=0

，取x=3，得z=1，y=0，于是

m

=(3，0，1)，…（10分）
∴cos＜

m

，

EF

＞=

m • EF

| m | |EF |

=

-5

10 × 5

=-

2

2

，
由于二面角E-BD-F为锐二面角，故其大小为45°．   …（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量．