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17.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x}{1-2x},x≠\frac{1}{2}}\\{-1,x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线x=$\frac{1}{2}$上,且$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$.
(1)求x1+x2的值及y1+y2的值;
(2)已知S1=0,当n≥2时,Sn=f($\frac{1}{n}$)+f($\frac{2}{n}$)+f($\frac{3}{n}$)+…+f($\frac{n-1}{n}$),求Sn

分析 (1)点M在直线x=$\frac{1}{2}$上,设M$(\frac{1}{2},{y}_{M})$.又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$,利用坐标运算x1+x2=1.①当x1=$\frac{1}{2}$时,x2=$\frac{1}{2}$,y1+y2=f(x1)+f(x2);②当x1≠$\frac{1}{2}$时,x2≠$\frac{1}{2}$.y1+y2=$\frac{2{x}_{1}}{1-2{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{1-2{x}_{2}}$化简即可得出.
(2)由(1)知,当x1+x2=1.y1+y2=-2.可得$f(\frac{k}{n})$+$f(\frac{n-k}{n})$=-2,k=1,2,3,…,n-1.即可得出.

解答 解:(1)∵点M在直线x=$\frac{1}{2}$上,设M$(\frac{1}{2},{y}_{M})$.
又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$,即$\overrightarrow{AM}$=$(\frac{1}{2}-{x}_{1},{y}_{M-}{y}_{1})$,$\overrightarrow{MB}$=$({x}_{2}-\frac{1}{2},{y}_{2}-{y}_{M})$,
∴x1+x2=1.
①当x1=$\frac{1}{2}$时,x2=$\frac{1}{2}$,y1+y2=f(x1)+f(x2)=-1-1=-2;
②当x1≠$\frac{1}{2}$时,x2≠$\frac{1}{2}$.
y1+y2=$\frac{2{x}_{1}}{1-2{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{1-2{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}(1-2{x}_{2})+2{x}_{2}(1-2{x}_{1})}{(1-2{x}_{1})(1-2{x}_{2})}$=$\frac{2({x}_{1}+{x}_{2})-8{x}_{1}{x}_{2}}{1-2({x}_{1}+{x}_{2})+4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2(1-4{x}_{1}{x}_{2})}{4{x}_{1}{x}_{2}-1}$=-2.
综合①②得,y1+y2=-2.
(2)由(1)知,当x1+x2=1.y1+y2=-2.
∴$f(\frac{k}{n})$+$f(\frac{n-k}{n})$=-2,k=1,2,3,…,n-1.)
n≥2时,Sn=f$(\frac{1}{n})$+f$(\frac{2}{n})$+…+f$(\frac{n-1}{n})$,①
∴Sn=$f(\frac{n-1}{n})$+$f(\frac{n-2}{n})$+…+$f(\frac{1}{n})$,②
①+②得,2Sn=-2(n-1),则Sn=1-n.
当n=1时,S1=0满足Sn=1-n.
∴Sn=1-n.

点评 本题考查了函数的性质、向量坐标运算、数列的求和,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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日    期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日
平均气温x(℃)91012118
销量y(杯)2325302621
(1)若从这五组数据中随机抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;
(2)请根据所给五组数据,求出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$.
(3)若1月份该地区平均气温为12℃,试根据(2)求出的线性回归方程,预测本月共销售该种饮料多少杯?
(参考公式:$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}}\\{\;}\end{array}$)

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