【题目】已知平面直角坐标系xOy中,过点P(﹣1,﹣2)的直线l的参数方程为 (t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a(a>0),直线l与曲线C相交于不同的两点M、N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM|=|MN|,求实数a的值.
【答案】
(1)解:∵直线l的参数方程为 (t为参数),
∴直线l的普通方程:x﹣y﹣1=0,
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a(a>0),
∴ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0),
∴曲线C的普通方程:y2=2ax
(2)解:∵y2=2ax;
∴x≥0,
设直线l上点M、N对应的参数分别为t1,t2,(t1>0,t2>0),
则|PM|=t1,|PN|=t2,
∵|PM|=|MN|,
∴|PM|= |PN|,
∴t2=2t1,
将 (t为参数),代入y2=2ax得
t2﹣2 (a+2)t+4(a+2)=0,
∴t1+t2=2 (a+2),
t1t2=4(a+2),
∵t2=2t1,
∴a=
【解析】(1)利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解;(2)结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理,求解即可.
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【题目】设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有xf′(x)>x2+3f(x),则不等式8f(x+2014)+(x+2014)3f(﹣2)>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣2016)
B.(﹣2018,﹣2016)
C.(﹣2018,0)
D.(﹣∞,﹣2018)
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【题目】某种产品的广告费用支出(万元)与销售(万元)之间有如下的对应数据:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
若由资料可知对呈线性相关关系,试求:
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)据此估计广告费用支出为10万元时销售收入的值.
(参考公式: ,.)
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【题目】设关于 x 的函数f(x)=lg(x2﹣2x﹣3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=x﹣a,(0≤x≤4)的值域为集合 B.
(1)求集合 A,B;
(2)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围.
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【题目】已知动点M(x,y)到直线l:x=3的距离是它到点D(1,0)的距离的 倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C上一动点T满足: =2λ +3μ ,其中P、Q是轨迹C上的点,且直线OP与OQ的斜率之积为﹣ .若N(λ,μ)为一动点,F1(﹣ ,0)、F2( ,0)为两定点,求|NF1|+|NF2|的值.
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【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟,那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间,能使公司获得最大的收益是()万元
A.72B.80C.84D.90
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