Question

已知f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立，则a=（　　）

• A、a≥2
• B、a≤4
• C、a≥4
• D、a=4

Answer 1

分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥

3

x2

-

1

x3

，可构造函数g（x）=

3

x2

-

1

x3

，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）_max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．

解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≥

3

x2

-

1

x3

设g（x）=

3

x2

-

1

x3

，则g′（x）=

3(1-2x)

x4

，
所以g（x）在区间（0，

1

2

]上单调递增，在区间[

1

2

，1]上单调递减，
因此g（x）_max=g（

1

2

）=4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≤

3

x2

-

1

x3

，
g（x）=

3

x2

-

1

x3

在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，从而a≤4，综上a=4．
故选D．

点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．