Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P.

（1）若P的坐标为，求直线的斜率；

（2）若P始终不在椭圆的内部（不包括边界），求外接圆面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）设，与抛物线方程联立，得到，，分别求在点处的切线方程，并且切线的交点，利用，求解参数和直线的斜率；

（2）由（1）可知，得到，并表示外接圆的半径，并且，代入椭圆得到，综合求得外接圆的半径的最小值.

（1）记，，

设，由 可得方程，

由韦达定理可知，，

设抛物线在处的切线，

由可得，

故即 ，

故，故，同理，

联立解得，结合题意解得，，故.

（2）由（1）知两条切线的斜率之积为，即，

则的外接圆半径即为

又由题意知，即，可知

所以外接圆的半径最小值为1，故外接圆的最小面积为.