Question

（2011•江苏模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t-2，t]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

(-∞，-

2

]

．

Answer 1

分析：由当x＜0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x≥0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递减函数，且满足2f（x）=f（

2

x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t-2，t]恒成立，可得x+t≤

2

x在[t-2，t]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x＜0时，f（x）=x²
∵函数是奇函数
∴当x≥0时，f（x）=-x²
∴f（x）=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递减函数，
且满足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t-2，t]恒成立，
∴x+t≤

2

x在[t-2，t]恒成立，
即：x≥（1+

2

）t在 x∈[t-2，t]恒成立，
∴t-2≥（1+

2

）t
解得：t≤-

2

，
故答案为：(-∞，-

2

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．