Question

9．双曲线的虚轴长为4，离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}，{F_1}，{F_2}$分别是它的左右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交与A、B两点，且|AB|是|AF₁|，|AF₂|的等差中项，则|BF₁|等于（　　）

• A． $8\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由题意及双曲线的方程知双曲线的虚轴长为4，即2b=4，利用离心率的知求解出a的值，再利用|AF₁|，|AF₂|的等差中项，得到|AB|，即可求出|BF₁|．

解答 解：由题意可知2b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，于是a=2$\sqrt{2}$，
∵|AB|是|AF₁|，|AF₂|的等差中项，
∴2|AB|=|AF₁|+|AF₂|，
∵2|AF₁|+2|BF₁|=|AF₁|+|AF₂|，
∴2|BF₁|=|AF₂|-|AF₁|=2a=2$\sqrt{2}$，
∴|BF₁|=2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 此题重点考查了双曲线方程的虚轴的概念及离心率的概念，还考查了利用双曲线的第一定义求解出|AB|的大小．