Question

设双曲线C的中心在原点，它的右焦点是抛物线y2=

8 3

3

x的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于两点A、B，试问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

分析：（1）先设出双曲线的标准方程，根据抛物线的方程求得焦点坐标，进而根据焦点到双曲线的一条准线的距离为

3

2

求得a，进而根据a，b和c的关系求得b，双曲线方程可得．
（2）直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0和3-k²≠0求得k的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根据OA⊥OB，可知y₂y₁+x₂x₁=0，把直线方程代入整理可得x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．进而根据韦达定理把x₁+x₂和x₁x₂代入求得k，然后检验k是否符合前面所求k的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y2=

8 3

3

x的焦点为(

2 3

3

，0)，
∴设中心在原点，右焦点为(

2 3

3

，0)的双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1．
∵(

2 3

3

，0)到双曲线的一条准线的距离为

3

2

，
∴

a2

c

=

2 3

3

-

3

2

=

3

6

．
∴a2=

3

6

×

2 3

3

=

1

3

．∴b2=c2-a2=(

2 3

3

)2-

1

3

=1．
∴双曲线C的方程为3x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=kx+1 3x2-y2=1

得（3-k²）x²-2kx-2=0
由

△=4k2-4(-2)(3-k2)＞0 3-k2≠0

得-

6

＜k＜

6

(k≠±

3

)．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
将x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，代入②，解得k=±1，满足①．
∴k=±1时，以AB为直径的圆过原点．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．