Question

14．已知x，y∈R⁺，且x+$\frac{y}{2}$=1，求$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）=2+$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{2x}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，且x+$\frac{y}{2}$=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（x+$\frac{y}{2}$）（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）
=2+$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{2x}$≥2+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{y}{2x}}$=4
当且仅当$\frac{2x}{y}$=$\frac{y}{2x}$即x=$\frac{1}{2}$且y=1时取等号
∴所求式子的最小值为4

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．