Question

【题目】如图，椭圆C1： +y2=1，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．

（1）求实数b的值；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E．
①证明： =0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S1 ， S2 ． 若 =λ，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2 =2

∴b=1

（2）解：①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．

与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…

又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMAkMB= × = =﹣1

故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1， ）

同理可得点B的坐标为 ．

于是 = =

直线的方程为y=k1x﹣1，代入椭圆方程，消去y，可得（ ）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x= ，则点D的坐标为 ；

同理可得点E的坐标

于是S2= =

因此 ，

又由点A，B的坐标可知，k= = ，平方后代入上式，

所以λ=

故λ的取值范围为[ ）

【解析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，从而得证；②设直线的斜率为k1 ， 则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1 ， 同理可得S2 ， 进而可得比值，由可得λ的取值范围．