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【题目】已知函数.

(I)讨论函数的单调性,并证明当时, ;

(Ⅱ)证明:当时,函数有最小值,设最小值为,求函数的值域.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)先求函数导数,确定导函数在定义区间上恒非负,故得函数单调区间;根据函数单调递增得,即得不等式,(2)利用(1)结论可得函数的导数在区间内单调递增,根据零点存在定理可得有一唯一零点.从而可得处取最小值,利用化简,得.最后再利用导数研究函数单调性,即得函数的值域.

试题解析:(1)由

上单调递增,

时,由上知

,即,得证.

(2)对求导,得

由(Ⅰ)知,函数区间内单调递增,

,所以存在唯一正实数,使得

于是,当时, ,函数在区间内单调递减;

时, ,函数在区间内单调递增.

所以内有最小值

由题设即

又因为.所以

根据(Ⅰ)知, 内单调递增, ,所以

,则,函数在区间内单调递增,

所以

即函数的值域为

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