Question

（2013•盐城二模）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为

2

2

．

Answer 1

分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．

解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周长的最大值是4a；
此时，△FAB的面积为

1

2

×2c×

2b2

a

=ab，
∴a²=2bc，平方得，
a⁴=4（a²-c²）c²
即4e⁴-4e²+1=0
∴e=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．