Question

（2009•滨州一模）已知、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量

m

=(sinA，sinB)，

n

=（cosB，-cosA）且

m

•

n

=2C．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求边c的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

m

和

n

表示出据

m

•

n

求得

m

•

n

=sinC.进而根据已知可推断出sinC=sin2C，进而根据二倍角公式求得cosC的值进而求得C
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，可推断出2sinC=sinA+sinB，进而利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据

CA

•(

AB

-

AC

)=18求得abcosC=18，最后由余弦定理求得C．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B)
在△ABC中，由于sin（A+B）=sinC，∴

m

•

n

=sinC.
又∵

m

•

n

=sin2C，∴sin2C=sinC，2sinCcosC=sinC
又sinC≠0，所以cosC=

1

2

，而0＜C＜π，因此C=

π

3

．
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．
∵

CA

•(

AB

-

AC

)=18，∴

CA

•

CB

=18，
即abcosC=18，由（Ⅰ）知cosC=

1

2

，所以ab=36．
由余弦弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，
∴c²=36，
∴c=6．

点评：本题主要考查了余弦余弦定理，平面向量积的运算．考查了学生综合分析问题和运算能力．