Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=

1-x

kx

+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，根据f（x）图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直，根据导数与斜率的关系，可得f′（2）=-5，求出m的值，然后再求出
函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已经知道f（x）的极大值和极小值，对命题进行转化：对任意x₁∈[0，1]时，存在x₂∈（0，1]时，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，因k值与0的关系不知道，所以要分类讨论：k＞0；k=0；k＜0；进行求解；
（Ⅲ）要利用（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论进行求证，利用不等式

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），对要证明的不等式左边的式子进行放缩，进行证明；

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=-3x²-4mx-m²，所以f′（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，…（2分）
由f′（x）=-3x²+4x-1，解得x₁=1，x₂=

1

3

，列表如下：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（　x　）	减函数	极小值 50 27	增函数	极大值2	减函数

所以f（x）_极小值=f（

1

3

）=

50

27

，f（x）_极大值=f（1）=2，
因为f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函数f（x）的零点是x=2．                                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，f（x）_min=

50

27

，
“对任意x₁∈[0，1]时，存在x₂∈（0，1]时，使f（x₁）＞g（x₂）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，
即当x∈（0，1]时，g（x）_min＜

50

27

”，…（6分）
因为g′（x）=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

，
①当k＜0时，因为x∈（0，1]时，所以g（x）=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符合题意；
②当0＜k≤1时，

1

k

≥1，所以x∈（0，1]时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
所以g（x）_min=g（1）=0＜

50

27

，符合题意；
③当k＞1时，0＜

1

k

＜1，所以x∈（0，

1

k

）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（

1

k

，1）时，
g′（x），g（x）单调递增，所以x∈（0，1]时，g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

，
令φ（x）=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1），则φ′（x）=

1

x

-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜φ（1）=-

50

27

＜0，
即lnx-x＜

23

27

，
所以g（x）min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符合题意，
综上所述，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，，使f（x₁）＞f（x₂）成立，
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．                           …（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，（x²+1）（2-x）≥

50

27

，即

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），
当a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2（a+b+c）-（a²+b²+c²）]=

27

50

[2-（a²+b²+c²）]

又因为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²），
所以a²+b²+c²≥

1

3

，当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2-（a²+b²+c²）]≤

27

50

（2-

1

3

）=

9

10

，
当且仅当a=b=c=

1

3

时取等号，…（14分）

点评：本题主要考查函数的导数与切线的斜率，利用导数求闭区间上函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，前两问比较容易求解，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，此题考查知识点比较全面，是一道综合题；