Question

（文科）已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）令C_n=nb_n（n∈N⁺），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a₂b₂=（3+d）q=12①，S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求a_n，b_n
（Ⅱ）由（I）可得，b_n=2^n-1，c_n=n•2^n-1，考虑利用错位相减求解数列的和即可

解答：解：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
联立①②可得，（3d+7）（d-3）=0
∵{a_n}是单调递增的等差数列，d＞0．
则d=3，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）b_n=2^n-1，c_n=n•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ…（9分）
两式相减可得，-T_n=1•2⁰+1•2¹+1•2²+…+1•2^n-1-n•2ⁿ
∴-T_n=

1-2n

1-2

-n•2n=2ⁿ-1-n•2ⁿ
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1…（13分）

点评：本题主要考查了利用基本量表示的等差数列、等比数列的通项，求和公式的应用，错位相减求解数列的和，属于数列的知识的综合应用．