Question

19．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$（n∈N^*），则b₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 由已知条件推导出b_n+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，b₁=$\frac{1}{2}$，从而得到数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，由此能求出b₂₀₁₅．

解答 解：∵a_n+b_n=1，且b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$，∴b_n+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，且a₁+b₁=1，∴b₁=$\frac{1}{2}$，
∵b_n+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，∴$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-1，
又∵b₁=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=-2．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-n-1，∴b_n=$\frac{n}{n+1}$．则b₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．