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在直角坐标系中,动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是,设动点的轨迹为是动圆上一点.

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)设曲线上的三点与点的距离成等差数列,若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率

(3)若直线和动圆均只有一个公共点,求两点的距离的最大值.

 

【答案】

(1);(2);(3).

【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和椭圆的定义,以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

解:(1)由已知,得,…………………………1分.

将两边平方,并化简得,      …………………………3分.

故轨迹C1的方程是。               ………………4分.

(2)由已知可得,,,

因为2|BF|=|AF|=|CF|,所以

即得,   ①                           …………………………5分.

故线段AC的中点为,其垂直平分线方程为, ②

    …………………………6分.

因为A,C在椭圆上,故有,两式相减,

得:    ③

将①代入③,化简得,    ④ ………………………7分.

将④代入②,并令y=0得,x=1/2,即T的坐标为(1/2,0)。………………………8分.

所以.                             ………………………9分.

,直线的方程为

因为P既在椭圆C1上又在直线上,从而有

将(1)代入(2)得         ………10分.

由于直线PQ与椭圆C1相切,故

从而可得             (3)

同理,由Q既在圆上又在直线上,可得

                  (4)……………………12分

由(3)、(4)得

所以 ……………………13分.

,当且仅当时取等号,

故P,Q、两点的距离的最大值. …………………………14分.

 

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2
2
)
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2
=0
的距离的
2
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