Question

如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

Answer 1

（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．


以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AF=a=4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，

3

，3）、F（-1，0，4），
∴

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，3）
设平面DEF的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • DE =0 n • DF =0

得

-x+ 3 y+2z=0 -2x+3z=0

，
令z=6，则x=9，y=-

3

，∴

n

=(9，-

3

，6)．
平面ABC的法向量可以取

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

6

92+(- 3 )2+62

=

30

10

．
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为

30

10

．
（2）在（1）的坐标系中，AF=a，

DE

=（-1，

3

，2），

DF

=（-2，0，a-1），C(0，

3

，0)．
因P在DE上，设

DP

=λ

DE

，
则

OP

=

OD

+

DP

=（1，0，1）+λ(-1，

3

，2)=(1-λ，

3

λ，2λ+1)．
∴

CP

=

OP

-

OC

=(1-λ，

3

(λ-1)，2λ+1)．
于是CP⊥平面DEF的充要条件为

CP • DE =0 CP • DF =0

，得到

λ-1+3(λ-1)+2(2λ+1)=0 -2(1-λ)+(a-1)(2λ+1)=0

                                 
由此解得，λ=

1

4

，a=2．
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP⊥平面DEF．