Question

【题目】甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有 =15种结果， 抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有： =6种结果，
用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”
P（A）= = ．
故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为 ．
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3， ），
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= （ ）3= ．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

ξ的数学期望E（ξ）=0× +1× +2× +3× =2．
（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，
用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．
P（A1）= （ + + ）+ = ，
用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，
则P（A2）= = ，
P（B）=P（A1）+P（A2）= =
【解析】（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有 种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有 种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3， ），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出两队得分之和大于4的概率．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．