Question

设定点M（-3，4），动点N在圆x²+y²=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为

（x+3）²+（y-4）²=4（点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

．

Answer 1

分析：设P（x，y）、N（x₀，y₀），根据中点坐标公式算出OP、MN中点坐标关于x、y和x₀、y₀的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后将点N坐标关于x、y的式子代入已知条件的圆方程，化简即得所求点P的轨迹方程．最后检验去除杂点，可得答案．

解答：解：设P（x，y），圆上的动点N（x₀，y₀），则
线段OP的中点坐标为（

x

2

，

y

2

），线段MN的中点坐标为（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

可得

x0=x+3 y0=y-4

，
∵N（x₀，y₀），即N（x+3，y-4）在圆上，
∴N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直线OM与轨迹相交于两点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合题意，舍去
故答案为：（x+3）²+（y-4）²=4（点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程和动点轨迹求法等知识，属于中档题．