Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C相交于异于点B的另一点Q．
（i）求

FM

•

FN

的值；
（ii）求证：A，Q，N三点共线．

Answer 1

分析：（I）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）（i）设出直线AP，BP的方程，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，结合P在椭圆上，即可求

FM

•

FN

的值；
（ii）设出直线MB，AN的方程，求出交点坐标，验证在椭圆上，即可证明A，Q，N三点共线．

解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，
∴

a+c=3 a-c=1

，∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则
直线AP：y=

y0

x0+2

(x+2)，联立直线AP与直线x=3，可得M（3，

5y0

x0+2

）；
直线BP：y=

y0

x0-2

(x-2)，联立直线AP与直线x=3，可得N（3，

y0

x0-2

），
（i）解：∵F（1，0），∴

FM

=(2，

5y0

x0+2

)，

FN

=(2，

y0

x0-2

)
∴

FM

•

FN

=4+

5y02

x02-4

∵

x02

4

+

y02

3

=1
∴y02=3-

3

4

x02
∴

FM

•

FN

=4+

5(3- 3 4 x02)

x02-4

=

1

4

；
（ii）证明：直线MB的方程为y=

5y0

x0+2

（x-2），直线AN的方程为y=

1 5 y0

x0-2

（x-2）
联立直线MB，NA，可得交点坐标为（

13x0-24

6x0-13

，

5y0

6x0-13

）
∵y02=3-

3

4

x02
∴

( 13x0-24 6x0-13 )2

4

+

( 5y0 6x0-13 )2

3

=1
∴直线MB，NA的交点在椭圆上，
∴A，Q，N三点共线．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线的方程，考查交点坐标的求解，考查学生的计算能力，综合性强．