Question

2．已知圆C：x²+y²-x+2y=0和直线l：x-y+1=0
（1）试判断直线l与圆C之间的位置关系，并证明你的判断；
（2）求与圆C关于直线l对称的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心与直线的距离与半径比较，即可得出结论；
（2）求出圆心C关于直线l的对称点，即可求与圆C关于直线l对称的圆的方程．

解答 解：（1）直线l与圆C的位置关系是相离…（1分）
由x²+y²-x+2y=0即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{5}{4}$得，
圆心C（$\frac{1}{2}$，-1），半径r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（3分）
圆心到直线l：x-y+1=0的距离d=$\frac{|\frac{1}{2}+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$＞r…（4分）
即直线l与圆C相离…（5分）
（2）设圆心C关于直线l的对称点为C′（x，y）
则C，C′的中点（$\frac{x+\frac{1}{2}}{2}$，$\frac{y-1}{2}$）在直线l上，且CC′⊥l…（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+\frac{1}{2}}{2}-\frac{y-1}{2}+1=0}\\{\frac{y+1}{x-\frac{1}{2}}=-1}\end{array}\right.$…（7分），解得x=-2，y=$\frac{3}{2}$，即对称圆的圆心为C′（-2，$\frac{3}{2}$）…（9分）
对称圆的半径r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，方程为（x+2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{5}{4}$…（10分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．