Question

11．已知$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-10y+18≤0}\\{y≥|{x-a}|+5}\end{array}}$，x，y∈R，若由不等式组围成的区域为P，设两曲线的交点为A，B，C（a，5）且C∈P；
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=0，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知：C（a，5）且C∈P，可得不等式，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）由题意知：AC⊥BC，求出交点坐标，即可求△ABC的面积；
（Ⅲ）延长AC交圆于点B'，求出点（1，5）到直线l：x-a-y+5=0的距离，表示出面积，利用基本不等式求△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：C（a，5）且C∈P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+25-2a-32≤0}\\{5≥|a-a|+5}\end{array}\right.$，∴$1-2\sqrt{2}＜a＜1+2\sqrt{2}$
（Ⅱ）由题意知：AC⊥BC
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-10y+18=0}\\{y=x+5}\end{array}}\right.$知$x=\frac{{1±\sqrt{15}}}{2}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}|{AC}||{BC}|=\frac{1}{2}|{\frac{{1-\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|•|{\frac{{1+\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|=\frac{7}{2}$
（Ⅲ） 延长AC交圆于点B'
点（1，5）到直线l：x-a-y+5=0的距离为：$d=\frac{{|{1-a-5+5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{a-1}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴$|{AB'}|=2\sqrt{8-{d^2}}=2\sqrt{8-\frac{{{{（{a-1}）}^2}}}{2}}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AC•B'C≤\frac{1}{2}{（\frac{AC+B'C}{2}）^2}=\frac{1}{2}\frac{{{{|{AB'}|}^2}}}{2}=\frac{1}{2}[8-\frac{{{{（a-1）}^2}}}{2}]≤4$
当且仅当AC=B'C，a=1时等号成立
∴当a=1时，△ABC的面积的最大值为4．

点评 本题考查点圆、直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．