分析 (Ⅰ)由题意知:C(a,5)且C∈P,可得不等式,即可求实数a的取值范围;
(Ⅱ)由题意知:AC⊥BC,求出交点坐标,即可求△ABC的面积;
(Ⅲ)延长AC交圆于点B',求出点(1,5)到直线l:x-a-y+5=0的距离,表示出面积,利用基本不等式求△ABC的面积的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由题意知:C(a,5)且C∈P,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+25-2a-32≤0}\\{5≥|a-a|+5}\end{array}\right.$,∴$1-2\sqrt{2}<a<1+2\sqrt{2}$
(Ⅱ)由题意知:AC⊥BC
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-2x-10y+18=0}\\{y=x+5}\end{array}}\right.$知$x=\frac{{1±\sqrt{15}}}{2}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}|{AC}||{BC}|=\frac{1}{2}|{\frac{{1-\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|•|{\frac{{1+\sqrt{15}}}{2}•\sqrt{2}}|=\frac{7}{2}$
(Ⅲ) 延长AC交圆于点B'
点(1,5)到直线l:x-a-y+5=0的距离为:$d=\frac{{|{1-a-5+5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{a-1}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴$|{AB'}|=2\sqrt{8-{d^2}}=2\sqrt{8-\frac{{{{({a-1})}^2}}}{2}}$
∴${S_△}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AC•B'C≤\frac{1}{2}{(\frac{AC+B'C}{2})^2}=\frac{1}{2}\frac{{{{|{AB'}|}^2}}}{2}=\frac{1}{2}[8-\frac{{{{(a-1)}^2}}}{2}]≤4$
当且仅当AC=B'C,a=1时等号成立
∴当a=1时,△ABC的面积的最大值为4.
点评 本题考查点圆、直线与圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3 | B. | 4 | C. | 3$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{15}$ |
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A. | 若m⊥n,n∥α,则m⊥α | B. | 若m∥α,n∥β,则m∥n | C. | 若α∥β,m?α,则m∥β | D. | 若m∥α,α⊥β,则m⊥α |
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A. | $A_5^4$ | B. | 54 | C. | 45 | D. | 4×5 |
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A. | $\frac{13}{65}$ | B. | $\frac{15}{65}$ | C. | $\frac{48}{65}$ | D. | $\frac{63}{65}$ |
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A. | y=$x+\frac{1}{x}$ | B. | y=$\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$ | ||
C. | y=$\sqrt{{x^2}+4}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$ | D. | y=log3x+logx3$\begin{array}{l}{\;}{(x>0,x≠1)}\end{array}$ |
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