Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1 ， 设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．

求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：根据题意，得；

E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；

又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C；

（2）证明：因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，

因为AC平面ABC，

所以AC⊥CC1；

又因为AC⊥BC，

CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，

BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1；

又因为BC1平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC；

因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

所以BC1⊥平面B1AC；

又因为AB1平面B1AC，

所以BC1⊥AB1．

【解析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1 ， 即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的性质的理解，了解垂直于同一个平面的两条直线平行．