Question

【题目】设函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+3．
（1）若不等式f（x）＞0的解为（﹣1， ），求不等式bx2﹣3x+a≤0的解集；
（2）若f（1）=4，a＞0，b＞0，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：若不等式f（x）＞0的解为（﹣1， ），

可得﹣1， 是ax2+（b﹣1）x+3=0的两根，

即有﹣1+ =﹣ ，﹣ = ，

解得a=﹣2，b=2，

不等式bx2﹣3x+a≤0即为2x2﹣3x﹣2≤0，

解得﹣ ≤x≤2，

即解集为[﹣ ，2]

（2）解：f（1）=4，即为a+b=2，

由a＞0，b＞0，可得a+b≥2 ，

则ab≤1，当且仅当a=b=1取得最大值1．

即有ab的最大值为1．

【解析】1、由不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，利用韦达定理可求出a=﹣2，b=2，得到新的不等式，解出即得结果。
2、由已知条件可得a+b=2，根据基本不等式求最值可得ab≤1，当且仅当a=b=1取得最大值1．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．