Question

定义在[-1，1]上的增函数，y=f（x），f（0）≠0，f（a+b）=f（a）f（b）
（1）求f（0）
（2）求证：对任意的x∈[-1，1]，恒有f（x）≥0；
（3）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；
（2）利用单调函数的只需证明最小值f（-1）≥0，即可得到结论；
（3）由f（x）•f（2x-x²）＞f（0）得f（3x-x²）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可．

解答： 解：（1）令a=b=0，则f（0）=f²（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1，
（2）令b=-x，a=x，则f（0）=f（x）•f（-x）=1．
则当x=1时f（-1）f（1）=1，
则f（-1）与f（1）同号，
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是增函数，
即f（1）＞f（0）．
∵f（0）=1＞0，∴f（1）＞f（0）=1＞0，
即当x∈[0，1]，恒有f（x）＞0，即f（x）≥0成立．
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[-1，0]上是增函数，
∴f（0）＞f（-1），
∵f（-1）与f（1）同号，
∴f（-1）＞0，
即f（0）＞f（-1）＞0，
则对任意的x∈[-1，1]，恒有f（x）≥0成立．
（3）由f（x）•f（2x-x²）＞1，
由f（0）=1得f（3x-x²）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函数，
∴3x-x²＞0，
∴0＜x＜3．

点评：本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的应用．利用赋值法是解决本题的关键．