Question

( (本小题满分13分)

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点坐标为(，0)，短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°.

(1)求椭圆的方程；   

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，m)在线段AB的垂直平分线上且·≤4，求m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由题意知a＝2b，c＝，a²＝b²＋c²

解得a＝2，b＝1

∴椭圆方程为＋y²＝1.(4分)

(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点坐标为(x₁，y₁)，

直线l的方程为y＝k(x＋2)

于是A、B两点的坐标满足方程组 

由方程消去y并整理得

(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0

由－2x₁＝得x₁＝，从而y₁＝

设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－，)(7分)

以下分两种情况：

①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，

于是＝(－2，－m)，＝(2，－m)，

由·≤4

得：－2≤m≤2.(9分)

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为

y－＝－(x＋)

令x＝0，得m＝－

由·＝－2x₁－m(y₁－m)

＝＋ (＋)

          ＝≤4

解得－≤k≤且k≠0(10分)

∴m＝－＝－

∴当－≤k<0时， ＋4k≤－4

  当0<k≤时，＋4k≥4

∴－≤m≤，且m≠0(12分)

综上所述，－≤m≤，且m≠0.(13分)

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【解析】略