Question

（2012•淮北二模）已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，且

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），则

BI • BA

| BA|

的值为（　　）

A．2

B．4

C．3

D．5

Answer 1

分析：根据

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

表示|

PC

|cos∠APC=|

PC

||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，且

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），表示I在∠BAP的角平分线上，
即I是三角形ABP的内心，余下的问题就比较简单．

解答：解：由|

PA

-

PB

|=10，可得|AB|=10．
由

PA • PC

|P • A |

=

PB • PC

|P • B |

，可得|

PC

|cos∠APC=|

PC

||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，即PC为∠APB的角平分线．
由于I为PC上一点，

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），表示点I在∠CAP的角平分线上，即I是三角形ABP的内心．
而要求的式子 

BI • BA

|B • A|

 表示的是

BI

在

AB

上的投影长度．
过I做IK垂直于AB于K，则由圆的切线性质和题意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3即所求，
故选C．

点评：本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目，属于中档题．