Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-

1

2

cos2x+1
（1）求函数f（x）的最小正周期及最大值；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若AB=1，sinB=

1

3

，f(

2C

3

)=

7

4

，且C为锐角，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用三角函数的周期公式气的函数的最小正周期，进而利用正弦函数的性质求得函数的最大值．
（2）利用f(

2C

3

)=

7

4

求得sin

4c

3

的值，进而求得

4C

3

的值，则C的值可求，进而求得sinC的值，最后利用正弦定理求得AC．

解答：解：f（x）=cos（2x-

π

3

）-

1

2

cos2x+1=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-

cos2x

2

+1=1+

3

2

sin2x
（1）T=

2π

2

=π
当2x=

π

2

+2kπ，即x=

π

4

+kπ，k∈Z时，f(x)max=

2+ 3

2

．
所以函数f（x）的最大值为

2+ 3

2

，最小正周期为π．
（2）f(

2C

3

)=1+

3

2

sin

4C

3

=

7

4

，∴sin

4C

3

=

3

2

，
因为C为锐角，即0＜C＜

π

2

，∴0＜

4C

3

＜

2π

3

，∴

4C

3

=

π

3

，C=

π

4

，所以sinC=

2

2

在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

2 2

=

2

3

点评：本题主要考查了两角和公式，二倍角公式的化简求值，三角函数的基本性质，正弦定理的应用．综合考查了基础知识的灵活的应用．