Question

已知函数f（x）=

log2(x+1)，x＞0 -x2+2x，x＜0

，若|f（x）|＞ax，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由题意可得，当x＞0时，log₂（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x＜0时，|f（x）|=x²-2x＞ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：由于函数f（x）=

log2(x+1)，x＞0 -x2+2x，x＜0

，|f（x）|＞ax，
①当x＞0时，log₂（x+1）＞0恒成立，不等式即log₂（x+1）＞ax，则此时应有a≤0．
②当x＜0时，由于-x²+2x的取值为（-∞，0]，故不等式即|f（x）|=x²-2x＞ax．
若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．
若x＜0时，有a＞x-2，∴a≥-2．
综上，a的取值为[-2，0]，
故答案为[-2，0]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．