【题目】已知抛物线C:y=(x+1)2与圆 (r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r;
(2)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
【答案】
(1)
解:设A(x0,(x0+1)2),
∵y=(x+1)2,y′=2(x+1)
∴l的斜率为k=2(x0+1)
当x0=1时,不合题意,所以x0≠1
圆心M(1, ),MA的斜率 .
∵l⊥MA,∴2(x0+1)× =﹣1
∴x0=0,∴A(0,1),
∴r=|MA|= ;
(2)
解:设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1
若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为
∴
∴t2(t2﹣4t﹣6)=0
∴t0=0,或t1=2+ ,t2=2﹣
抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为
y=2x+1①,y=2(t1+1)x﹣ ②,y=2(t2+1)x﹣ ③
②﹣③:x=
代入②可得:y=﹣1
∴D(2,﹣1),
∴D到l的距离为
【解析】(1)设A(x0 , (x0+1)2),根据y=(x+1)2 , 求出l的斜率,圆心M(1, ),求得MA的斜率,利用l⊥MA建立方程,求得A的坐标,即可求得r的值;(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1,若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为 ,建立方程,求得t的值,求出相应的切线方程,可得D的坐标,从而可求D到l的距离.
【考点精析】掌握点到直线的距离公式是解答本题的根本,需要知道点到直线的距离为:.
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【题目】设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+ , b,c∈R)
(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:fn(x)在区间 内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1 , x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在 内的零点,判断数列x2 , x3 , …,xn 的增减性.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为 .
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点M的横坐标为 ,直线l:y=kx+ 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当 ≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
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【题目】平面直角坐标系中,圆M与y轴相切,并且经过点,.
(1)求圆M的方程;
(2)过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD,求四边形ABCD面积的最大值.
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【题目】乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.
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【题目】已知a,b为常数,且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的值域;
(3)若F(x)=f(x)-f(-x),试判断F(x)的奇偶性,并证明你的结论.
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【题目】已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的侧面积为________.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在极坐标系和直角坐标系中,极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,直线:(为参数),圆:.
(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线上一点,是圆上一点,求的最小值.
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