精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图，已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF₂⊥F₁F₂时，原点O到直线MF₁的距离为 $数学公式$ |OF₁|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）过F₂作与直线AB垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，当三角形PQF₁面积为20 $数学公式$ 时，求此时椭圆的方程；
（3）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F₁MF₂的最大值为 $数学公式$ ．

解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0），B（0，b）
因为MF₂⊥F₁F₂，所以点M坐标为 $\text{[math]}$
所以MF₁方程b²x-2acy+b²c=0
O到MF₁距离 $\text{[math]}$ ，整理得2b⁴=a²c²
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
（2）设直线l方程为 $\text{[math]}$ ，直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F₁到直线PQ的距离为h
解联立方程 $\text{[math]}$ 得5x²-8bx+2b²=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
所以b²=25，a²=50
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$
（3）设MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a
由余弦定理得 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，
所以cos∠F₁MF₂≥0
当且仅当 $\text{[math]}$
由三角形内角及余弦单调性知有最大值 $\text{[math]}$
分析：（1）利用MF₂⊥F₁F₂，可求点M坐标，利用原点O到直线MF₁的距离为 $\text{[math]}$ |OF₁|，可得几何量之间的关系，从而可求a，b满足的关系式；
（2）假设直线l方程与椭圆方程联立，进而可表示出三角形PQF₁面积，利用条件可求；
（3）在△F₁MF₂中，利用余弦定理表示出∠F₁MF₂，利用基本不等式即可求解．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理解决弦长问题，同时考查了基本不等式的运用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>