Question

过双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右焦点F作倾斜角为

π

4

的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．

Answer 1

分析：首先根据已知求出AB的方程，然后代入双曲线方程联立方程组，运用设而不求韦达定理求出AB中点坐标，最后即可求出CF的距离．

解答：解：由已知，AB的方程为y=x-5，
将其代入

x2

9

-

y2

16

=1，得7x²+90x-369=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

90

7

．

x1+x2

2

=-

45

7

，解得

y1+y2

2

=-

80

7

AB的中点C的坐标为(-

45

7

，-

80

7

)，
于是|CF|=

(- 45 7 -5)2+(- 80 7 -0)2

=

80 2

7

．

点评：本题考查直线的斜率，两点间的距离公式，以及双曲线的简单性质，通过对已知题目的分析，熟练运用所学知识，属于基础题．