设函数
，且有
.
（1）求证：
，且
；
（2）求证：函数
在区间
内有两个不同的零点.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为
米，高为
米，体积为
立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为
元（
为圆周率）.
（1）将表示成的函数
，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
常数
）满足
.
（1）求出
的值，并就常数
的不同取值讨论函数
奇偶性；
（2）若在区间
上单调递减，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，当取最小值时，证明：恰有一个零点
且存在递增的正整数数列
，使得
成立.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)=lnx+a
,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
(2)求证：对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>
+
+…+
恒成立.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（2011•湖北）（1）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；
（2）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：
①若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，则
…
≤1；
②若b1+b2+…bn=1，则
≤
…
≤b12+b22+…+bn2．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量
与时间
小时
间的关系为
．如果在前
个小时消除了
的污染物，试求：
（1）
个小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少
所需要的时间．（参考数据：
）
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； 
，
， 2分
，消去
，得
；
，得
，即
， 5分
，
，即有
， 8分
与
内分别有一个零点，
(x∈R，且x≠2)．
的单调区间；
与函数
．
的值；
的不等式：
在区间
上有解，求实数
的取值范围．