Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在二次函数f（x）=ax²+bx+c图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点的横坐标为x₀，记直线AB的斜率为k，（i）求证：k=f′（x₀）；（ii）对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同样的性质？证明你的结论．

Answer 1

（I）函数的定义域为（0，+∞），要使函数g（x）在定义域内总为增函数，
则g′(x)=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0恒成立，①--------（1分）
当x＞0时恒成立，则2ax²+bx+c＞0 ②
因为a＜0，由二次函数的性质，②不可能恒成立．
则函数g（x）不可能总为增函数．--------（4分）
（II）（i）k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

a( x 22 - x 21 )+b(x2-x1)

x2-x1

=a（x₂+x₁）+b=2ax₀+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x₀）=2ax₀+b，…..（7分）  
则k=f′（x₀）．--------（7分）
（ii）不妨设x₂＞x₁，对于“伪二次函数”：g（x）=ax²+bx+clnx，
k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

a( x 22 - x 21 )+b(x2-x1)-cln? x2 x1

x2-x1

=2ax0+b+

cln x2 x1

x2-x1

，③--------（9分）
由（ⅰ）中①知g′(x0)=2ax0+b+

c

x0

，
如果有（ⅰ）的性质，则g'（x₀）=k，④，
比较③④两式得

cln x2 x1

x2-x1

=

c

x0

，c≠0，
即：

ln x2 x1

x2-x1

=

1

x0

=

x1+x2

2

--------（12分）
不妨令t=

x2

x1

，t＞1，则

lnt

t-1

=

2

t+1

，即lnt=

2t-2

t+1

⑤，
设s(t)=lnt-

2t-2

t+1

，则s′(t)=

1

t

-

2(t+1)-(2t-2)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴s（t）在（1，+∞）上递增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x₀）≠k．--------（14分）
∴“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，不具有（ⅰ）的性质．--------（15分）