Question

求：使

ln(x+1)

x

＜kx²-

1

2

x+1在x＞0的情况下恒成立的k的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分离参数可得k＞

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

（x＞0），设F（x）=

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

，则F（x）在x＞0时单调递减，x→0时，由罗必塔法则，F（x）→

1

3

，即可求出k的最小值．

解答： 解：分离参数可得k＞

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

（x＞0），
设F（x）=

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

，则F（x）在x＞0时单调递减，
∵x→0时，由罗必塔法则，F（x）→

1

3

，
∴k≥

1

3

，
∴使

ln(x+1)

x

＜kx²-

1

2

x+1在x＞0的情况下恒成立的k的最小值为

1

3

．

点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，x→0时，由罗必塔法则，F（x）→

1

3

是关键．