Question

（1）已知椭圆的焦点为F₁（0，-5），F₂（0，5），点P（3，4）在椭圆上，求它的方程
（2）已知双曲线顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±

3

2

x，求它的方程．

Answer 1

分析：（1）据焦点坐标判断出焦点在y轴上，设出椭圆的方程，将P的坐标代入方程求出a，求出椭圆的方程．
（2）对焦点的位置分类讨论，设出双曲线的方程，求出实轴长及渐近线的斜率列出方程组，求出a，b，求出双曲线方程．

解答：解：（1）∵焦点为F₁（0，-5），F₂（0，5），可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-25

=1；
点P（3，4）在椭圆上，∴

16

a2

+

9

a2-25

=1∴a²=40，所以椭圆方程为

y2

40

+

x2

15

=1．（6分）
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1
由题意，得

2a=12 b a =  3 2

　　　
解得a=3，b=

9

2

．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为

x2

9

-

y2

81 4

=1．
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为

y2

9

-

x2

4

=1．

点评：本题考查通过待定系数法求曲线的方程，此法常用于求已知方程类型的曲线方程的求法．若求圆锥曲线方程时，注意焦点的位置．